APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Area de una región plana
1. La dividimos en franjas, infinitamente estrechas, de manera horizontal
o vertical,
2. Suponemos que las franjas son rectángulos, con lo cual su área se
obtendrá como el producto de la base por la altura (la base será el
diferencial correspondiente dx o dy), es decir,
da = hdx, o bien, da = hdy.
3. Calculamos el área total como la suma de las áreas de los infinitos
rectángulos:
Los límites de integración se determinan estudiando el recorrido del
diferencial correspondiente.
Si las curvas se cortan dentro del intervalo de integración, entonces habrá que
descomponer la integral en dichos puntos y calcular las áreas por separado.
En particular,
Volumen de sólidos de revolución
Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l , se
genera un cuerpo geométrico denominado sólido de revolución. La recta l se
denomina eje de giro. En este capítulo se estudiará como determinar el volumen de
estos sólidos si los ejes de giro son paralelos a los ejes coordenados.
Volumen de Sólidos de Revolución mediante
el Método del Disco
Este método permite determinar el volumen de sólidos de revolución como la suma
del volumen de cilindros circulares rectos de corta altura (discos). Recuerde que el
volumen de un cilindro se calcula por la fórmula: V r2h , donde (r) es el radio del
cilindro y (h) su altura
Sea la región R
acotada por la gráfica de una función f continua no negativa, el
eje x , y las rectas verticales x a y x b como se muestra en la figura 4.1a, si
dicha región gira alrededor del eje x , se genera un sólido compacto como el que se
muestra en la figura
Sea un plano perpendicular al eje x , que corta al sólido de la figura 4.1b, la
intersección es una sección transversal circular. Si este plano pasa por el punto en
el eje x con abscisa i w , entonces el radio del círculo formado se denomina radio de
giro (Rg)
y su longitud es i f w , y el área del círculo es 2
i f w . Se puede
deducir la integral definida que permite calcular el volumen de sólidos de r evolución,
usando sumas de Riemann, de manera análoga al procedimiento utilizado para
calcular áreas
Volúmenes de revolución: Método de capas
En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido de revolución,
un método que emplea capas cilíndricas;
Para introducir el metodo de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:
r= anchura del rectángulo (espesor).
h = altura del rectángulo
p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).
Volumen de la capa = volumen del cilindro - volumen del agujero=
= 2 ph = 2 (radio medio)(altura)(espesor)
Usamos esta fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución como sigue. Suponemos que la región plana gira sobre una recta y engendra así dicho sólido. Si colocamos un rectángulo de anchura y paralelamente al eje de revolución, entonces al hacer girar la región plana en torno al eje de revolución, el rectángulo genera una capa de volumen:
V = 2 [p(y)h(y)] y
Si aproximamos el volumen del sólido por n de tales capas de anchura y, altura h( yi), y radio medio p( yi ), tenemos:
volumen del sólido =
Tomando el límite cuando n!", tenemos que:
Volumen del sólido =
Por tanto, podemos enunciar el método de capas de la siguiente forma:
Para calcular el volumen de un sólido de revolución con el método de capas, se usa una de las dos siguientes opciones:
Eje horizontal de revolución:
Eje vertical de revolución:
Para hallar el volumen de un sólido por el método de capas, se procede como se indica a continuación.
1. Esbozar la región plana que va a ser girada, hallando los puntos de intersección de las curvas que la limitan.
2. Sobre el dibujo hallar un rectángulo paralelo al eje de revolución.
3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.
Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas:
El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos
de revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por
una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:
Volumen de la arandela =
Volúmenes de revolucion: Método de cascarones
Este método sirve para encontrar el volumen de sólidos de revolución,
muchas veces este metodo es mas fácil de aplicar que el método de discos
o el de arandelas, debido a que en estos dos últimos métodos es difícil
despejar las variables de la función y ponerlas en términos de una
variable en especifico dependiendo del eje de rotación. Un cascarón
cilíndrico es un solido acotado por 2 cilíndros circulares rectos como
se ve en el bosquejo. El cilindro está definido por el radio interno, el
radio externo y por la altura.
Longitud de una curva.
Sabemos lo que significa la longitud de un segmento recto. En particular, si tenemos dos puntos del
plano A = (a1, a2 ) y ( ) 1 2 B = b ,b , la longitud del segmento AB es, según el teorema de Pitágoras,
Análogamente, si ( ) 1 2 3 A = a , a , a y ( ) 1 2 3 B = b ,b ,b son puntos del espacio
tridimensional, la longitud del segmento AB es, ahora
entonces se procede a realizar la encuacion.
Superficie de revolucion
Una superficie de revolución es aquella que se genera mediante la rotacion de una curva plana, o generatriz, alrededor de una recta directriz, llamada eje de rotacion, la cual se halla en el mismo plano que la curva. Ejemplos comunes de una superficie de revolución son:
Una superficie de revolución cilíndrica es generada por la rotación de una línea recta, paralela al eje de rotación, alrededor del mismo; esta superficie determina un volumen denominado cilindro, que se denomina solido de revolucion; la distancia entre el eje y la recta se denomina radio.
Una superficie de revolución cónica es generada por la rotación de una recta alrededor de un eje al cual interseca en un punto, llamado vertice o ápice, de forma que el ángulo bajo el que la generatriz corta al eje es constante; la superficie cónica delimita al volumen denominado cono.
Una superficie de revolución esférica está generada por la rotación de una semicircunferencia alrededor de su diametro; ésta encierra al sólido de revolución llamado esfera.
Una superficie de revolución toroidal está generada por la rotación de una circunferencia alrededor de un eje que no la interseca en ningún punto; esta superficie se denomina toro.
Trabajo mecanico, precion de liquidos
Es muy corriente que las fuerzas se ejerzan sobre una superficie. Dependiendo de la
intensidad de la fuerza (modulo) y de la extensión de la superficie donde actúe, el efecto
de dicha fuerza podrá ser mayor o menor. Por esto, se define una nueva magnitud física,
la presión (P), como la fuerza ejercida (perpendicularmente) sobre una superficie, por
unidad de área (o superficie):
La unidad de presión en el S.I es el N/m2 que recibe el nombre de pascal (en honor de
Blas Pascal) y se abrevia como Pa.
La presión nos da una medida de la capacidad para deformar, que tiene una fuerza que
está actuando sobre una superficie. A mayor presión, el efecto “deformador” será mayor.
Se denomina fluido a aquellos cuerpos que pueden fluir y adoptan la forma del recipiente que
los contiene.
Los fluidos se dividen en líquidos y gases, dependiendo de sus fuerzas (moleculares) de
cohesión interna (ver anexo al final de los apuntes).
La hidrostática es la parte de la Física (Mecánica) que tiene por objeto el estudio del
comportamiento y de las propiedades de los fluidos en equilibrio. La hidrodinámica estudia los
fluidos en movimiento.
Centro de masa
El centro de masas de un sistema discreto o continuo es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema. De manera análoga, se puede decir que el sistema formado por toda la masa concentrada en el centro de masas es un sistema equivalente al original. Normalmente se abrevia como c.m.
Areas planas y coordenadas polares
Por medio de un sistema de coordenadas en un plano, es posible localizar cualquier punto del plano. En el sistema rectangulo esto se efectua refiriendo el punto a dos rectas fijas perpendiculares llamadas ejes de coordenadas. En el sistema polar, un punto se localiza especificando su posicion relativa con respecto a una recta y un fijo de esa recta.
Calcular el área plana limitada por la función Y = X2 – 4X + 5, el eje X, y las rectas X = 1 y X = 3.
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
Para calcular el área de una región plana que se encuentra bajo una función y sobre el eje X se utiliza la integral definida de dicha función; en este caso en particular la integral estará limitada por las rectas X = 1 y X = 3.
Calcular el área plana limitada por la función Y = X2 – 4X + 5, el eje X, y las rectas X = 1 y X = 3.
Solución : Se recomienda graficar el área que se pretende calcular con la finalidad de tener una visión clara del problema planteado.
Note que el índice inferior de la integral definida es “1” y el índice superior es “3”. Esto se debe a que el área que queremos calcular está limitada desde 1 hasta 3.
Efectuando la integral :
El hecho de que el resultado obtenido tenga signo negativo solo nos indica que dicha región plana está ubicada por debajo del eje X. Luego podemos decir que el área de dicha región es de 22/3 = 7,33 unidades cuadradas.
Ejercicios de deviradas implicitas:
2do sem. Ing Civil U.N.E.F.A
Matematica II
Bachilleres:
- Acevedo Miguel
- Peña José
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